Да. Ваш работодатель обязан вас оформить по полной программе. АМКА, АФМ, и прочее. 

А есть ли у вас на данный момент адиа диамони? Если нет, с вас правильно потребовали визу. Но до момента расторжения брака вам не имеют права  отказывать в визе.

Нет, такой возможности не предусмотрено. Кокини карта это карта беженца. Вообще удивительно, что вам такую дали как жителю Украины. Но при этом насколько я знаю у вас должны были забрать паспорт. Как вы будете без него ехать? 

Внутри Шенгена вы можете ездить на основании ВНЖ, как вам заблагорассудится. Главное, чтобы не просрочили документы. Тогда будут проблемы. 

Розовая тавтотита это наверное Делтио омогенус. Если да, то ваша дочка может подать документы на голубую тавтотиту, т.е. получить греческое гражданство. Для этого надо заплатить пошлину 100 евро и собрать следующие документы: 1) копия всех страниц паспорта, 2) копия розового тавтотита, 3) свидетельство о рождение с Апостилем. Вам понадобится нового образца, так как на документах старого образца не ставят Апостиль. Апостиль надо поставить на Украине, в Греции это не делают, 4) цветная фотография. Все эти документы подаются в периферию по месту жительства.

Ваша сестра должны выехать из Греции в свою страну, получить там визу как жена грека и приехать в Грецию. Только в этом случае она сможет получить адиа диамонис как жена грека.

Туда где вы получали. Там напишите объяснительную и вам должны будут её заманить.

Да вы имеете право на этот ВНЖ, по списку член семьи гражданина Греции. Правда если на ребенка есть все положенные документы. 

Увы, пока в ЕС не признают, что в Украине идет война и есть угроза зля вашей жизни, кокину карту вы не сможете получить. Разве, что если у вас есть подтвержденные сведения. что вас преследуют и есть угроза для жизни. 

Визу вам могут дать только туристическую со сроком проживания в Греции от 10 дней до 3 месяцев. Отметка о штрафе не помешает получению визы, при условии, что нет никаких других неблагоприятных фактов.